Solides et fluides en mouvement

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I Rappels de mécanique

I.1 Référentiel

I.2 Trajectoires

I.3 Vitesse

I.4 Accélération

I.5 Le principe d'inertie

II Étude énergétique d’un solide en mouvement

II.1 Chute libre

II.2 Énergie cinétique en translation

II.3 Énergie cinétique en rotation

III Mécanique des fluides

III.1 Fluide compressible et fluide incompressible

III.2 Pression d’un fluide

III.3 Principe fondamental de l’hydrostatique

III.4 Débit massique et débit volumique

III.5 Équation de continuité (ou conservation du débit)

III.6 Applications/ Exercices

IV Théorème de Bernoulli

IV.1 Définition / Formule

IV.2 Applications/ Exercices

V Viscosité

I Rappels de mécanique

I.1 Référentiel

Pour étudier le mouvement d’un solide, il faut préciser le solide choisi et le référentiel.

Exemples de référentiels : -

Référentiel terrestre
Référentiel géocentrique
Référentiel héliocentrique

Exercice d’application : importance du référentiel

Souligner en vert le référentiel et en rouge le système. Préciser à chaque fois si le référentiel de l’observateur est terrestre, géocentrique ou autre. Préciser si le corps considéré est au repos ou en mouvement dans ce référentiel.

I.2 Trajectoires

Dans un référentiel donné, la trajectoire est la ligne formée par l’ensemble des positions successives occupées par un point du solide étudié au cours de son mouvement.

Si la trajectoire est une droite alors il s'agit d'un mouvement rectiligne.

Si la trajectoire est une courbe alors il s'agit d'un mouvement curviligne.

Si la trajectoire est un arc de cercle alors il s'agit d'un mouvement circulaire

Exemple d’application : Trouver le type de mouvement dans les exemples suivants :

I.3 Vitesse

.................................................................................................................................................................................

I.4 Accélération

.................................................................................................................................................................................

I.5 Le principe d'inertie

L’inertie d’un corps est la résistance qu’il oppose à tout changement à son état de repos ou de mouvement.

Il faut qu’une force s’exerce sur un corps pour que soient modifiées la valeur de sa vitesse ou la direction de son mouvement.

En outre, plus la masse du corps est grande, plus son inertie est grande : une même force a moins d’influence sur le mouvement d’un objet lourd que sur celui d’un objet léger.

II Étude énergétique d’un solide en mouvement

III Mécanique des fluides

III.1 Fluide compressible et fluide incompressible

a) Définition

Un fluide peut être considéré comme étant formé d'un grand nombre de particules matérielles, très petites et libres de se déplacer les unes par rapport aux autres. Un fluide est donc un milieu matériel continu, déformable, sans rigidité et qui peut s'écouler. Parmi les fluides, on fait souvent la distinction entre liquides et gaz.

b) Liquides et gaz

Les liquides et gaz habituellement étudiés sont isotropes, mobiles et visqueux. La propriété physique qui permet de faire la différence entre les deux est la compressibilité.

L’isotropie assure que les propriétés sont identiques dans toutes les directions de l'espace.
La mobilité fait qu'ils n'ont pas de forme propre et qu'ils prennent la forme du récipient qui les contient.
La viscosité caractérise le fait que tout changement de forme d’un fluide réel s'accompagne d'une résistance (frottements).

III.2 Pression d’un fluide

La pression est égale au rapport de l’intensité la force pressante sur l’aire S de la surface pressée

III.3 Principe fondamental de l’hydrostatique

Appliquer le principe fondamental de l’hydrostatique pour calculer une différence de pression ou une hauteur de fluide.

III.4 Débit massique et débit volumique

a) Définitions

Le débit est le quotient de la quantité de fluide qui traverse une section droite de la conduite par la durée de cet écoulement.

b) Débit-massique

Si Δm est la masse de fluide qui a traversé une section droite de la conduite pendant le temps Δt, par définition le débit-masse est : unité : kg/s

qm = Δm/ Δt

c) Débit-volumique

Si ΔV est le volume de fluide qui a traversé une section droite de la conduite pendant le temps Δt, par définition le débit-volume est : unité : m3/s.

qv = ΔV/Δt

d) Relation entre qm et qV

La masse volumique est donnée par la relation :

Remarque :

Les liquides sont incompressibles et peu dilatables (masse volumique constante) ; on parle alors d'écoulements isovolumiques.

Pour les gaz, la masse volumique dépend de la température et de la pression. Pour des vitesses faibles (variation de pression limitée) et pour des températures constantes on retrouve le cas d'un écoulement isovolumique.

e) Écoulements permanents ou stationnaires

Un régime d'écoulement est dit permanent ou stationnaire si les paramètres qui le caractérisent (pression, température, vitesse, masse volumique, ...), ont une valeur constante au cours du temps.

III.5 Équation de continuité (ou conservation du débit)

Ligne de courant : En régime stationnaire, on appelle ligne de courant la courbe suivant laquelle se déplace un élément de fluide. Une ligne de courant est tangente en chacun de ses points au vecteur vitesse du fluide en ce point.

Tube de courant : Ensemble de lignes de courant s'appuyant sur une courbe fermée.

Fig. 2 : Tube de courant

Conservation du débit :

Considérons un tube de courant entre deux sections S1 et S1. Pendant l'intervalle de temps Δt, infiniment petit, la masse Δm1 de fluide ayant traversé la section S1 est la même que la masse Δm2 ayant traversé la section S2.

qm1 = qm2 : En régime stationnaire, le débit-masse est le même à travers toutes les sections droites d'un même tube de courant.

Dans le cas d'un écoulement isovolumique () :

qv1 = qv2 : En régime stationnaire, le débit-volume est le même à travers toutes les sections droites d'un même tube de courant

Expression du débit en fonction de la vitesse v :

Le débit-volume est le produit de la vitesse (en m/s) par la section (en m²).

a) Vitesse moyenne

En général la vitesse v n'est pas constante sur la section S d'un tube de courant ; on dit qu'il existe un profil de vitesse (à cause des forces de frottement). Le débit-masse ou le débit-volume s'obtient en intégrant la relation précédente :

Dans une section droite S de la canalisation, on appelle vitesse moyenne vm la vitesse telle que :

La vitesse moyenne vmoy apparaît comme la vitesse uniforme à travers la section S qui assurerait le même débit que la répartition réelle des vitesses.

Si l'écoulement est isovolumique, cette vitesse moyenne est inversement proportionnelle à l'aire de la section droite.

C'est l'équation de continuité.

On en déduit : la vitesse moyenne est d'autant plus grande que la section est faible.

Application

Un camion est équipé d’une pompe d’aspiration à palettes. La plaque signalétique de la pompe indique que le débit est de 360m3/h. La potence d’aspiration a un diamètre de 120 mm.

Calculer en m3/s, le débit volumique de la pompe.

Calculer, en m², l’aire de la section S de la potence d’aspiration (arrondir le résultat à 10-3)

Calculer, en m/s, la vitesse v des boues dans la potence.

IV Théorème de Bernoulli

Cette équation permet de définir les caractéristiques de pression, de hauteur et de vitesse d’un fluide qui se déplace. Elle s’applique à tout fluide incompressible, non visqueux et peut être utilisée dans les écoulements gazeux à condition que les vitesses d’écoulement soient faibles : de l’ordre de 100 m/s.

En régime d’écoulement permanent, il y a conservation de l’énergie mécanique par unité de volume du fluide.

Théorème de Bernoulli pour un écoulement permanent d’un fluide parfait incompressible

L’état d’un écoulement est donné par :

La vitesse
La hauteur
La pression

L’équation de Bernoulli traduit la variation de ces trois grandeurs :

Avec

v1 et v2 : vitesses d’écoulement du fluide dans les sections S1 et S2 ( en m/s),
p1 et p2 : pressions statiques (en Pa),
z1 et z2 : altitudes des sections S1 et S2 (en m)

Cas particulier d’un écoulement horizontal

Dans ce cas on a : z1 = z2 l’équation de Bernoulli se simplifie :

.................................................................................................................................................................................

Application

Une pompe hydraulique a un débit de 45 L/min. La pression p1 à la sortie de la pompe est de 80 bar. L’axe du flexible de refoulement est horizontal et son diamètre est de 15 mm.

Calculer, arrondie à 0,01 m/s, la vitesse v1 d’écoulement du fluide à la sortie de la pompe.

En raison d’une fausse manœuvre, le flexible situé à la même hauteur que la pompe subit une brusque rupture. Le fluide passe brusquement d’une pression de 80 bar et d’une vitesse d’écoulement de 4m/s à une pression p2 égale à celle de la pression atmosphérique et à une vitesse v2. Calculer, arrondie à 1 m/s, la vitesse v2 d’expulsion du fluide de masse volumique ρ = 800 kg/m3.

V Viscosité

La viscosité peut être définie comme l'ensemble des phénomènes de résistance à l'écoulement se produisant dans la masse d'une matière, pour un écoulement uniforme et sans turbulence. Plus la viscosité augmente, et plus la capacité du fluide à s'écouler facilement diminue, plus l'énergie dissipée par l'écoulement sera importante.

Viscosité du verre en fonction de la température

Plusieurs grandeurs physiques caractérisent la viscosité : la viscosité dynamique (celle utilisée le plus généralement), la viscosité cinématique, la seconde viscosité et la viscosité de volume.

Pour un liquide (au contraire d'un gaz), la viscosité tend généralement à diminuer lorsque la température augmente.

On pourrait croire que la viscosité d'un fluide s'accroît avec sa densité mais ce n'est pas nécessairement le cas : l'huile est moins dense que l'eau (huile de colza : 0,92 à 20 °C, contre 1 pour l'eau) cependant elle est nettement plus visqueuse.

Plusieurs types d’écoulement sont possibles dans une conduite cylindrique, ils sont déterminés par un terme appelé nombre de Reynolds, noté Re, nombre sans unités