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Cours / Activité à remplir avec le professeur.
Équations différentielles du premier et du second degré
I.1 Qu’est-ce qu’une équation différentielle?
I.2 Exemples concrets
II Équations différentielles d’ordre 1
II.1 Équation sans second membre : Solution homogène
II.2 Équation avec second membre
III Équations différentielles d’ordre 2 à coefficients constants
III.1 Équation sans second membre : Solution homogène
III.1.1 Cas où Δ = 0
III.1.2 Cas où Δ > 0
III.1.3 Cas où Δ < 0
III.2 Équation avec second membre
III.2.1 Solution particulière de l’équation différentielle
III.2.2 Solution générale de l’équation différentielle
IV Exercices d’application
Objectifs pédagogiques :
- Savoir reconnaitre et identifiant une équation différentielle
- Résoudre une équation différentielle d'ordre 1 ou 2
- Savoir faire le lien avec des exemples concrets en électricité, mécanique etc...
Cours / Activité à remplir avec le professeur.
I.1 Qu’est-ce qu’une équation différentielle?
– Un Voyage à Travers le Temps
Histoire captivante : Remontons au XVIIème siècle, une époque où les mathématiques prenaient un nouveau tournant avec Newton et Leibniz. Ces figures emblématiques ont posé les premières pierres de ce que nous appelons aujourd'hui les équations différentielles, initialement conçues pour des problèmes en géométrie et mécanique. Au siècle suivant, des mathématiciens comme Euler, Lagrange, et Laplace ont transformé ces équations en un pilier des mathématiques modernes.
I.2 Plongée dans le Monde Réel : Exemples Concrets
Loin d'être de simples formules, les équations différentielles sont les moteurs invisibles derrière de nombreux aspects de notre quotidien et de la science.
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Technologie et Gadgets : Votre smartphone, vos jeux vidéo favoris, tout cela est optimisé et rendu possible par ces équations, rendant l'expérience utilisateur fluide et réaliste.
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Sports et Physique : Dans le monde du sport, elles aident à analyser la trajectoire d'un ballon ou les mouvements dynamiques d'un athlète.
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Nature et Environnement : Ces équations nous aident à comprendre comment les forêts se développent, à prévoir la météo, et à suivre l'évolution des espèces.
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Astronomie : Elles sont essentielles pour calculer les orbites des planètes et la trajectoire des satellites, nous ouvrant les portes de l'univers.
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Santé et Médecine : En médecine, elles jouent un rôle crucial dans la compréhension de la propagation des maladies et dans le développement de nouveaux traitements.
II Équations différentielles d’ordre 1
Soient a, b, c trois fonctions définies sur un intervalle I inclus dans R et y une fonction inconnue, définie et dérivable sur ce même intervalle I.
On appelle équation différentielle du premier ordre (ou d’ordre 1) toute équation du type :
Où y'(x) est la dérivée première de la fonction y(x)
Souvent a(x) et b(x) seront des fonctions constantes.
Ce type d’équation est une équation différentielle de 1er ordre car on n’utilise que la dérivée 1ère de la fonction.
II.1 Équation sans second membre : Solution homogène
Cette équation est appelée équation différentielle sans second membre ou encore équation homogène associée à . . est nécessairement une fonction qui ne s’annule pas sur l’intervalle d’étude.On appelle solutions homogènes l’ensemble des solutions de cette équation différentielle.
On note : le rapport des coefficients :
=
L’ensemble des fonctions solutions homogènes définie sur l’intervalle d’étude est donné par :
Exemple :
Soit l’équation différentielle définie par : y' - 2y = 0, déterminer la forme de l’ensemble des solutions homogènes.
On a : = et
d’où
et donc =
de ce fait l’ensemble des solutions homogènes sera de la forme :
II.2 Équation avec second membre
On appelle équation différentielle avec second membre toute équation différentielle pour laquelle ; étant une fonction de x.
Exemples :
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Solution particulière de l’équation différentielle
On appelle solution particulière de l’équation différentielle
toute fonction (x) vérifiant cette équation.
Dans les examens du BTS, une solution particulière est généralement donnée, on vous demande alors de la vérifier.
(Si elle n’est pas donnée, il faut savoir que la solution particulière est souvent de la même nature que le 2nd membre.)
Exemple :
Soit h la fonction définie sur R par . Démontrer que h est une solution particulière de l’équation différentielle (E)
-
Étape 1 : Calcul de h'(x)
-
Étape 2 : On vérifie ces données dans l’équation différentielle. On remplace h et h' par leurs expression;
Etape 3 : On retrouve le résultat attendu. On en conclut que :
est bien solution particulière de l'équation.
Solution générale de l’équation différentielle
Les solutions d’une équation différentielle sont de la forme :
On vous demandera souvent de trouver une solution générale qui répondra à des conditions particulières.
Exemple :
-
Déterminer l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E).
G(x) =
-
Déterminer la solution particulière f de l’équation (E) qui vérifie la condition : f(0) = -1.
----------->
D’où
